橘子：今天，和大家分享一篇很“硬核”的數(shù)學(xué)攻略。

最近，有花友推薦了這篇文章，在社區(qū)內(nèi)居然引起了大家蠻熱烈的關(guān)注。

文章作者是數(shù)學(xué)博士，還是一位數(shù)學(xué)老師，高中數(shù)學(xué)幾乎每次都能拿到滿分。

(資料圖片僅供參考)

最近，他在知乎熱門問題“我一直很好奇，高中數(shù)學(xué)考試每次145+的人是怎么做到的“寫了條回答，分享了他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，收到了八千多條贊同、六百多條評(píng)論，非常受歡迎。

文章很長很詳細(xì)，作者分享了自己高中數(shù)學(xué)能拿到滿分的九個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)慣，沒有很“高大上”，非常接地氣，很多方法論，咱們普娃也能適度地參考起來。

橘子通篇讀了這篇文章后，有個(gè)很深刻的印象：要想高中數(shù)學(xué)成績還不錯(cuò)，到了高中再臨陣磨槍可能會(huì)比較吃力。前期的數(shù)學(xué)習(xí)慣很重要，包括預(yù)習(xí)習(xí)慣、打草稿習(xí)慣、做題習(xí)慣、教材學(xué)習(xí)習(xí)慣等，越早抓越受益。

這篇攻略貼，被不少網(wǎng)友們標(biāo)記為“寶藏貼“：

花友 @雨天有時(shí)下藍(lán)鯨：誠意滿滿的經(jīng)驗(yàn)，感覺娃的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了方向。

網(wǎng)友 @知鳶：謝謝題主的分享，看了后醍醐灌頂，可惜現(xiàn)在才看到，當(dāng)年念書的時(shí)候就是題主口中的不知學(xué)習(xí)為何物的學(xué)生，渾渾噩噩經(jīng)歷高考?，F(xiàn)在看到也算有幸，可以應(yīng)用到孩子身上。

網(wǎng)友 @sinocare：邏輯太清晰 文筆太清秀。

今天，我們獲得了這位熱情知乎網(wǎng)友“川上老師“的授權(quán)，和大家分享這篇攻略。

下面，就來看看這位數(shù)學(xué)老師的大白話。讀完后，也許能對(duì)帶娃學(xué)數(shù)學(xué)，有些新的啟發(fā)～

圖片：作者的草稿；本文轉(zhuǎn)載授權(quán)自知乎網(wǎng)友 @川上老師

---? 以下為正文 ---

我高中數(shù)學(xué)幾乎每次都能考滿分，要么就是稍微錯(cuò)個(gè)幾分在145分+的水平，后來碰上自主招生，去了幾所985大學(xué)自主招生考試，考數(shù)學(xué)也都是滿分。

后來，我選的大學(xué)數(shù)學(xué)院副院長和我是老鄉(xiāng)，他直接打電話到我家里讓我把志愿填過去。我也沒有辜負(fù)他的期望，一路學(xué)習(xí)到博士。順帶提一句，不少人說浙江江蘇卷145分+很難考，但我當(dāng)年就是浙江考生。

有一句話說得好，學(xué)霸考滿分是因?yàn)橹挥羞@么幾分能考。

當(dāng)年對(duì)我而言，數(shù)學(xué)是我的強(qiáng)勢(shì)科目，確實(shí)是巴不得多個(gè)五十分上限。每次數(shù)學(xué)考試結(jié)束，所有同學(xué)都會(huì)來搶我的數(shù)學(xué)試卷來估分（只上交答題卷，我會(huì)在試卷上寫好答案）。甚至鬧過一次烏龍，有一次一個(gè)選擇題極難，我也考慮失誤做錯(cuò)了，他們寧可相信是老師給的標(biāo)準(zhǔn)答案錯(cuò)了，也不愿意相信是我寫錯(cuò)了。

關(guān)于高中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，我說一下我的看法：如果你平時(shí)成績?cè)谀硞€(gè)分?jǐn)?shù)左右波動(dòng)，可以認(rèn)為你的實(shí)力就在考那個(gè)分?jǐn)?shù)的水平，但是如果你想次次都考滿分，就至少得有個(gè)能考兩百分的水平。換言之，成績穩(wěn)定在140左右和穩(wěn)定在145+的同學(xué)，雖然只有不到十分的差距，但是知識(shí)的儲(chǔ)備量至少相差了好幾本書。

當(dāng)我念高中的時(shí)候也會(huì)經(jīng)常有同學(xué)來問我，為什么大家做完都來不及，而你卻總是能考滿分。

于我而言，我覺得我每次成績都考很好，主要是做到了下面幾點(diǎn)：

1

計(jì)算功底，要扎實(shí)

正所謂“一力降十會(huì)”，在絕對(duì)的計(jì)算能力面前，所有的運(yùn)算技巧、解題技巧都相形見絀。尤其是高考中的解析幾何大題，基本沒有任何思考量，純粹地考察學(xué)生的計(jì)算能力。

而在21世紀(jì)，計(jì)算數(shù)學(xué)甚至成為了數(shù)學(xué)系的四大主要分支之一。

計(jì)算是數(shù)學(xué)中最根基的部分，只有計(jì)算能力強(qiáng)大，才能為你節(jié)約大量考試時(shí)間。

目前應(yīng)該除了上海高考外都禁止用計(jì)算器，而且即使上?？荚囉杏?jì)算器的加持，強(qiáng)大的心算能力也是非常必要的。甚至你需要熟練使用小學(xué)時(shí)候?qū)W習(xí)的記憶20以內(nèi)數(shù)的平方、2的10次以內(nèi)的冪、3或者5的4次以內(nèi)的冪、頭同尾合十心算技巧等等。

如何算得又快又對(duì)，雖然是小學(xué)時(shí)候就學(xué)的東西，但是終身受用。

高中數(shù)學(xué)解析幾何題：需要較強(qiáng)的計(jì)算能力

關(guān)于計(jì)算能力的重要性，這和賊叉老師的思路是一樣的。如何提高娃的計(jì)算能力，之前咱們還和賊叉老師做過一期專訪：

2

不用太早，需要提前預(yù)習(xí)

我并沒有提前太早學(xué)習(xí)新課，但是至少每個(gè)學(xué)期發(fā)新書后，我會(huì)抽一些晚自習(xí)的時(shí)間，把整個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)書看一遍（其實(shí)所有學(xué)科的教科書我都這樣干）。全部看完并且理解以后，老師講課的時(shí)候再聽一遍，就相當(dāng)于學(xué)習(xí)了兩遍。

人們總說學(xué)霸不聽課不做作業(yè)的，其實(shí)我想說不是。

我雖然不太聽課，但作業(yè)還是要做的：因?yàn)榭催^一遍教科書，自己對(duì)著輔導(dǎo)練習(xí)冊(cè)做做題就會(huì)了。

因?yàn)橹R(shí)都掌握了，所以數(shù)學(xué)課對(duì)于我而言就是自修課。數(shù)學(xué)老師也跟班上同學(xué)說，要是跟我一樣次次考滿分，也可以不聽課。

不過，上課的這個(gè)時(shí)間我并沒有閑著，我會(huì)選擇做一些競賽題。當(dāng)然也不是完全不聽課，稍微聽一些，覺得有趣的，會(huì)自己做一些探究課題。

人教版2019年高中數(shù)學(xué)必修教材目錄

3

不偷懶，題要多練

總有同學(xué)說，題型太多變了，每次學(xué)習(xí)了這個(gè)，他又換個(gè)題目考。

我只能說，做的題目還是太少了。

高考不是競賽，如果你刷的題足夠多，你就能幾乎做過所有高頻的考點(diǎn)。

我高一就開始刷高考卷，刷到高考還在刷。高一的時(shí)候高考卷自測(cè)根本不及格，很多題都看不懂。但那又怎么樣呢，做著做著就會(huì)了。到了高三正?？荚嚨臅r(shí)候，基本就是手到擒來，而且很自信，做下去就對(duì)。

也就是說，不要在考試的時(shí)候去思考新的解法，思考方法的時(shí)間應(yīng)該花在課后，而不是在考場上。

真正的高分考生，基本就是看到一道題，就知道他在考察你什么知識(shí)點(diǎn)，也知道該用什么方法做。嘗試一下，基本路就走通了，如果還走不通，再換個(gè)方法試試。

2018年高考全國卷1數(shù)學(xué)試題

4

不局限于教材，廣泛地學(xué)習(xí)課外知識(shí)

在這里，我想拿大家都能懂的雞兔同籠問題舉例子。

這是在我國國內(nèi)非常著名的小學(xué)生奧賽題，基本所有受過奧賽培訓(xùn)的小學(xué)生都能熟練解出雞兔同籠問題。

但是他們用的方法，以及他們老師教學(xué)的方法，一般是這樣的：

假如所有動(dòng)物都是雞，那么少了幾只腳，每把一只雞換成一只兔，多兩只腳，因此就能算出有多少只兔子，剩下的就全是雞。

而對(duì)于初中生來說，雞兔同籠問題是一個(gè)二元一次方程組問題，通過消元法可以快速計(jì)算雞兔數(shù)目。

雞兔同籠題目

我想舉這個(gè)例子來說明，對(duì)于數(shù)學(xué)題來說，解法并不一定是唯一的，甚至有些解法對(duì)于題目而言是“降維打擊”的、是“秒殺”的。

看到一個(gè)要求計(jì)算線段比例的向量題目，中規(guī)中矩的方法要求建立基底一步步計(jì)算，甚至標(biāo)準(zhǔn)答案也會(huì)這么求解。

但是如果你能熟練使用梅捏勞斯定理、塞瓦定理、斯特瓦爾特定理等這些競賽書上有，教科書上根本沒有的定理，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)有時(shí)候一個(gè)填空題只需要十秒鐘就能做完，甚至還不到十秒。

在我自己考試時(shí)，我總是發(fā)現(xiàn)在選擇填空上我就能比身邊的同學(xué)快上二十分鐘。

我同桌以前和我說，最緊張的一次考試是有一份四頁的考試卷，他還在第一頁做選擇，我已經(jīng)翻面做第三頁大題了。

相信很多同學(xué)學(xué)習(xí)過“解三角形”這一節(jié)課。我們知道了在三角形中有正弦定理和余弦定理。但是課外的習(xí)題還有“非直角三角形△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”這樣的結(jié)論，也幫我快速解決過無數(shù)解三角形大題。

除此以外，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)最希望聽老師說的一句話就是“這個(gè)不考”，就把某個(gè)知識(shí)點(diǎn)一劃，便再也不看。

據(jù)我所知，在三角函數(shù)這一章節(jié)，很多省份不考積化和差、和差化積這兩組共八個(gè)公式，還有萬能公式、半角公式也并不在考綱里。

積化和差公式

但這些名詞，即使不在考綱里，也很可能會(huì)出現(xiàn)在課堂上老師的口中：“我們講一個(gè)從教材中刪掉的重要知識(shí)點(diǎn)……”

但是對(duì)于我來說，在我的中學(xué)階段，出于求知，我會(huì)把這些“額外”知識(shí)點(diǎn)自己單獨(dú)推導(dǎo)至少一遍，而實(shí)踐也證明了：若是真的考試用不上，任課老師為什么還要分出寶貴的課堂時(shí)間來講這些東西？

而到了博士階段，也有不少中學(xué)生向我請(qǐng)教問題，出于對(duì)知識(shí)的敬畏，以及對(duì)那些先驅(qū)者的尊重，我也會(huì)嚴(yán)格要求那些學(xué)生們記住那些“不考，沒用”的知識(shí)點(diǎn)。

書上出現(xiàn)的著名定理，我還要求他們必須熟知是哪個(gè)國家的哪個(gè)數(shù)學(xué)家提出的。因?yàn)橛幸痪涓裢獯騽?dòng)我的話是這么說的：“你在課本上隨手劃下的一行公式，很可能就是某個(gè)人一生的全部工作?！?/strong>

5

做題習(xí)慣要好

我在這里提到的做題習(xí)慣，主要指的是以下三個(gè)部分。

第一個(gè)，指的是計(jì)算的時(shí)候心態(tài)好，耐心。

每一步計(jì)算時(shí)心態(tài)都很平靜，不浮躁。

寫下每一個(gè)數(shù)字的時(shí)候都會(huì)順手檢查一遍有沒有算錯(cuò)或者抄錯(cuò)。這一點(diǎn)在面對(duì)計(jì)算量巨大的題，尤其是坐標(biāo)系下的立體幾何題、解析幾何題以及導(dǎo)數(shù)大題時(shí)尤為重要。

不知道看到這里的小伙伴們有沒有做大題時(shí)候算錯(cuò)了重算導(dǎo)致時(shí)間來不及的情況呢，我想應(yīng)該是有的吧。

第二個(gè)指的是草稿工整。

我的草稿是非常工整的。拍幾張我最近計(jì)算時(shí)候書寫的草稿

在多年前我的草稿就是如此，不會(huì)東一塊西一塊。

這在考場上是十分有用的，基本上一眼就能看出來在哪一步算錯(cuò)了。如果沒有帶其他顏色的筆，我也會(huì)用黑筆把計(jì)算的關(guān)鍵步驟圈出來。

這個(gè)習(xí)慣為我做題節(jié)省了非常多的時(shí)間，尤其是檢查的時(shí)候。

第三個(gè)指的是卷面工整整潔。

相信大家從我貼的草稿也可以想象到我考試卷面的工整整潔程度。如果說有個(gè)參照的話，我會(huì)提一下前幾年很火的錢學(xué)森考試卷的例子

這是錢老的卷面，事實(shí)上在每次考試中我的卷面也是如此：合理的空間配置、工整的筆跡、以及著重標(biāo)記關(guān)鍵步驟和答案等。

作為一個(gè)批改過高考卷的人，我可以很負(fù)責(zé)任地告訴大家這就是改卷老師想看到的卷面。

你可以想象一下，如果你是閱卷老師，看到這樣的卷面，心里會(huì)想什么。至少我會(huì)想，這樣的學(xué)生就是滿分的料子。幫他檢查一下答案對(duì)不對(duì)，若是全對(duì)，我連過程都不想看了，直接給他滿分。

作者最近給學(xué)生整理的中考解析

而在黑板上書寫板書的時(shí)候，我也會(huì)盡量寫得工整清晰。

以前給人講課時(shí)的板書，狗追兔子的追線問題

如果是教科書上沒有的，我自己的備課稿件，我也會(huì)工整書寫，并復(fù)印給學(xué)生使用。

備課講義手稿2

一般來說，雖然高考數(shù)學(xué)，每個(gè)大題都有多種方法的多種給分方案，并且老師改卷只看給分關(guān)鍵步驟，答到點(diǎn)子上了，給多少分，沒達(dá)到，就不給。

但是盡管有如此的步驟分評(píng)判方法，但是并不是卷面不影響成績。對(duì)于閱卷老師而言，數(shù)學(xué)大題還是有輕微幾分的自主裁量權(quán)的。這個(gè)主要體現(xiàn)在學(xué)生總是能夠?qū)懗鲆恍┠＠鈨煽傻脑?，“說他對(duì)也有道理，說他不對(duì)也說得過去”這樣的步驟，對(duì)應(yīng)到某些學(xué)生“掌握了知識(shí)點(diǎn)，但沒完全掌握”的狀態(tài)。

相信無數(shù)的老師強(qiáng)調(diào)過：卷面是隱形的加分點(diǎn)。

這句話不是空穴來風(fēng)。當(dāng)老師的這點(diǎn)都懂，這時(shí)候卷面的價(jià)值就來了。

閱卷有一個(gè)不成文的規(guī)定，如果你的答案半對(duì)不對(duì)，與其在那里糾結(jié)半天你寫得到底算不算對(duì)，要不要給你分，基本上就是看卷面，寫得工整判你對(duì)，寫得亂七八糟直接判錯(cuò)。

也許我和你寫的內(nèi)容都是一模一樣的，但我就是因?yàn)榫砻鎲栴}比你高兩分，你覺得氣不氣。

在學(xué)校里，你可能還會(huì)因?yàn)樽约骸皩懙氖?但長得像5被老師判錯(cuò)扣分”這件事耿耿于懷，找任課老師理論，但如果是中高考呢？

而在目前的閱卷制度下，你的一份卷子，會(huì)被按題目拆分，會(huì)被十幾個(gè)人批閱——卷面的影響，會(huì)被放大至少十倍。

說句不好聽的話，如果你每道大題都寫得模糊不清亂七八糟一片，每道大題偷偷扣你一兩分卷面分，加起來十分就沒了。更可怕的是，這還只是一門科目。

把字寫工整，是對(duì)別人的尊重，也是對(duì)自己負(fù)責(zé)。這不是要求把字體書寫得多么美觀，多么藝術(shù)，只是要求你寫的字能被人輕易認(rèn)出來。

6

不要在一道題上死磕

我并不是希望各位安排好多少時(shí)間做選擇題，多少時(shí)間做填空，多少時(shí)間做大題，多少時(shí)間檢查。這些都是會(huì)因?yàn)樵嚲黼y度有出入的。

我要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，不要在一道題上死磕。

哪怕是我這樣次次考滿分的人，我也會(huì)選擇合理放棄一些題目，去先把分值更高的所有題目的分拿到手，再用剩下的時(shí)間回去死磕。

有些題，想不到就是想不到，分值又低，合理取舍是很重要的。

之前陶平生出高考卷，最后一題全省無人做對(duì)。如果我參加了那場考試，我一定會(huì)在最后二十分鐘的時(shí)候放棄這道題，用二十分鐘時(shí)間把前面所有題目檢查一遍。

陶平生教授出的2008年江西高考數(shù)學(xué)大題

7

一定要留下時(shí)間檢查

前面說到，合理取舍。但是對(duì)于我而言，每次考試時(shí)間還是比較寬裕的，兩個(gè)小時(shí)的數(shù)學(xué)考試，我一般能夠剩下30多分鐘來檢查。

如果是比較難的卷子，我也能至少留下十五分鐘去檢查。

主要原因是，在第一遍做的時(shí)候，有非常多的題目我總能挑選出我覺得最快速的解題方法去求解。而對(duì)于填空和選擇題，有時(shí)候不需要太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，有時(shí)候數(shù)學(xué)直觀好，直接猜出圖形的特殊位置、方程的特殊解、達(dá)到最值時(shí)候的取等條件等等，那就直接寫上答案就行，回頭做完卷子，還有時(shí)間再回來補(bǔ)充證明。

其次是，檢查的時(shí)候根據(jù)剩余時(shí)間的多少，來確定檢查方案。

如果時(shí)間格外充裕，我檢查一道題的方法是選擇換一種新的方法重做這道題。

這樣做有一個(gè)好處，就是如果你用兩種差別較大的方法在同一道題解出同樣答案，那么可以直接斷定你這道題就是做對(duì)了。因?yàn)閮煞N不同方法解出相同答案的概率是極低的。

但是這樣的策略必須有一個(gè)前提條件：你得想得到兩種解法（又或者說有的題目其實(shí)就只有一種解法）。

如果檢查的時(shí)間不夠充?；蛘哒f確實(shí)想不到新的解法，我會(huì)選擇順著一開始的解題步驟，一步一步重新算一遍。

注意是重新寫一遍而不是看著草稿看一遍。基本上你看一遍是看不太出錯(cuò)誤的，也就是所謂的“檢查不出來”。而如果你真的老老實(shí)實(shí)再去打一遍草稿，你就會(huì)很明顯知道哪一步算錯(cuò)了。

我一般會(huì)預(yù)留20多分鐘去檢查，但是如果真的卷子特別難，時(shí)間沒那么充裕，那我也會(huì)做好不整體檢查的準(zhǔn)備，但是相應(yīng)地，我會(huì)告訴自己，之后每算一步都要很仔細(xì)。

8

適當(dāng)?shù)摹巴稒C(jī)取巧”

曾經(jīng)有同學(xué)問過我一道選擇題，類似是f(x)≤a恒成立，求a的取值范圍。

給了四個(gè)選項(xiàng)，分別是a>1，a≥1，a

我告訴他說，這道題直接求解f(x)的最大值其實(shí)很難，但是如果我們觀察到“如果對(duì)于某個(gè)a能滿足這個(gè)不等式，那么比它大的所有a都應(yīng)該被包括進(jìn)去”那么很顯然，直接選擇a≥1這個(gè)選項(xiàng)，因?yàn)槿绻粚?duì)，其他選項(xiàng)就更不可能對(duì)。

這對(duì)于數(shù)學(xué)直覺好的同學(xué)來說是基本操作，但是這樣的題目會(huì)讓非常多“做題死板”的同學(xué)坑進(jìn)去大量時(shí)間。

當(dāng)然，對(duì)于高考而言幾乎不可能出現(xiàn)這么顯然的選項(xiàng)，但是在平時(shí)大大小小的模擬測(cè)驗(yàn)中，難免會(huì)出現(xiàn)這樣選項(xiàng)質(zhì)量不高的題，又或者就是為了鍛煉學(xué)生“投機(jī)取巧”的能力而故意設(shè)置成這樣的選項(xiàng)。

因此，就考試而言，掌握適當(dāng)?shù)膽?yīng)試解題技巧，也應(yīng)該是學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中應(yīng)該留意的一點(diǎn)。

9

不要懶惰

我從本科一年級(jí)開始就開始做中學(xué)生家教，同時(shí)在校內(nèi)也積極參加學(xué)工部的勤工儉學(xué)項(xiàng)目，為學(xué)校內(nèi)其他院系數(shù)學(xué)功底薄弱的同學(xué)提供數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)。

在我接觸過大量的學(xué)生以后，我愈發(fā)覺得，孔子的“有教無類”是有道理的。當(dāng)然在此基礎(chǔ)上還有“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個(gè)人”。

總有學(xué)生或是家長抱怨說，孩子智商不行，腦子不夠靈光，學(xué)不了理科。

于是我做過這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：我把數(shù)學(xué)書上重要的公式全部整理出來，其實(shí)每一章節(jié)也沒幾個(gè)公式，半頁紙就能寫下。

我對(duì)學(xué)生說：“下次來上課，我會(huì)把這張紙上的知識(shí)點(diǎn)做成填空題，你完全不需要?jiǎng)幽X子，你把它一模一樣地、原封不動(dòng)地默寫下來?！睂W(xué)生覺得這任務(wù)很簡單。

但是一周以后，默寫效果總是非常差。

我再讓他們回去記憶默寫，依然非常差。

過了幾周，我連這幾個(gè)公式出現(xiàn)在教科書第幾頁第幾行都記住了，學(xué)生還是默寫不出來。

只有我說“若是默寫不出來，那就不許下課，不許吃飯，直到默寫出來為止?！钡臅r(shí)候，即使是叫嚷著“完全不會(huì)”的學(xué)生，也能把所有知識(shí)點(diǎn)都默寫出來了。

這也就說明了，沒有笨學(xué)生，只有懶學(xué)生。

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的部分公式

為什么總有人說題海戰(zhàn)術(shù)有用？我覺得題海戰(zhàn)術(shù)起碼保證了一件事：反復(fù)鞏固知識(shí)點(diǎn)。

上課的時(shí)候看一遍公式，當(dāng)場記住了，第二天就忘。而課后習(xí)題，每做一道題，就寫一遍公式，連著做十題二十題，就相當(dāng)于寫十遍二十遍公式，真的會(huì)有人笨到簡簡單單一行公式，寫上一百遍還記不住嗎？

有一句大家耳熟能詳?shù)脑姡骸凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行?！惫馐巧险n聽老師講解，看著書死記硬背的學(xué)習(xí)效果是很差的，不如自己推導(dǎo)一遍公式，做上幾道典型例題。

在我給學(xué)生上課的過程中，我會(huì)經(jīng)常詢問學(xué)生，你們聽懂了嗎？得到的回答幾乎都是：“聽懂了?！倍绻易寣W(xué)生站起來回答問題，又或者僅僅是把我剛才說過的話原封不動(dòng)復(fù)述一遍，他們就又會(huì)蹦出倆字“不會(huì)”。

只有在我嚴(yán)格要求他們把板書抄下來作為筆記并當(dāng)著我的面推導(dǎo)一遍，他們恍然大悟，說上一句：“哦！原來是這樣??！”我才能相信他們的確是掌握了。

老師上課講過的內(nèi)容，下課以后完全不復(fù)習(xí)，每天根本沒花多少時(shí)間學(xué)習(xí)。平時(shí)周一到周五五天光顧著玩，就靠著周末的補(bǔ)習(xí)吊著一口氣，兩天打魚五天曬網(wǎng)，每個(gè)周末補(bǔ)習(xí)的時(shí)候搞懂了知識(shí)點(diǎn)，到學(xué)校里去又只光顧著玩。到頭來還要埋怨補(bǔ)習(xí)沒效果、老師教學(xué)水平低、題目太難、自己太笨……找盡理由，就是不愿意承認(rèn)自身的懶惰。這難道不是多數(shù)學(xué)生的真實(shí)寫照嗎？

只不過，我也認(rèn)為不能把問題的根源簡單歸結(jié)為懶惰，它的背后還有更深層的原因。學(xué)生們年紀(jì)輕，并沒有太多的閱歷。我相信無數(shù)的同學(xué)，根本還沒有搞懂“為什么要學(xué)習(xí)”這一問題。中學(xué)生也好，大學(xué)生也是如此。多數(shù)時(shí)候，限制一個(gè)人的并不是能力，而是態(tài)度。

最后

回答大家關(guān)心的幾個(gè)問題 ...

發(fā)布這個(gè)回答后，收到了大家很多的看法，因此我再來補(bǔ)充一些。

Q1：中高考、自主招生這類考試，能用超綱的方法解題嗎？

能。就一點(diǎn)：做出來比不會(huì)做強(qiáng)。

我甚至巴不得學(xué)生發(fā)明一種我看不懂的方法來解題。

只要你熟練掌握了正確的知識(shí)，那就大膽地去使用。

但前提是你要做到：

使用了正確的方法

解出了正確的答案

規(guī)范地書寫解答

老有學(xué)生說：我用了某某方法某某定理，結(jié)果沒有步驟分了。我把卷子拿來一看，分明就是定理都背錯(cuò)了。

很多老師不建議學(xué)生使用超綱方法答題的根本原因就是，學(xué)生們對(duì)這些知識(shí)沒有經(jīng)過系統(tǒng)的訓(xùn)練，基本都是稀里糊涂亂用的。多數(shù)情況并不是“使用了超綱知識(shí)被扣分了”，反而是“你以為你用了正確的方法，實(shí)際上用錯(cuò)了”

看到數(shù)列就求極限的，極限的存在性證了嗎？沒證的，扣分。

上來就給未知函數(shù)求導(dǎo)要么積分的，可微性證了嗎，可積性證了嗎？沒寫的，扣分。

就閱卷而言，即使你在卷子上把哥德巴赫猜想證出來了，題沒做對(duì)，沒分。

這里我講一個(gè)令我印象深刻的故事。

有一年我參加大學(xué)的自主招生閱卷工作，考生多為高中學(xué)生，壓軸大題是證明一個(gè)方程無解。

試評(píng)完發(fā)現(xiàn)考生們主要使用兩種方法：

多數(shù)學(xué)生使用的第一種方法中規(guī)中矩，構(gòu)造函數(shù)求 n?次導(dǎo)數(shù)，分奇偶討論單調(diào)性，步驟繁瑣，需要書寫整整一頁。

少部分學(xué)生使用的第二種方法是使用泰勒公式，將題目給的函數(shù)展開至 n?階。

泰勒公式是超綱的公式，因此我們?cè)谠囋u(píng)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)卷子上凡是使用泰勒公式的同學(xué)都是一知半解的，所有使用泰勒公式的同學(xué)，都在展開完以后使用了佩亞諾型余項(xiàng)，但是佩亞諾型余項(xiàng)無法證明方程無解。

因此閱卷組長通知，凡是使用泰勒公式解題的同學(xué)，一律判為0分。

我改著卷子的時(shí)候，突然一份答案呈現(xiàn)在我的眼前，字跡清秀但卻只有寥寥兩行。

我的第一印象就是答卷沒寫得密密麻麻的，基本就是不會(huì)的，何況又是這種只寫了兩行的答案呢。想著等會(huì)兒給他0分，但還是仔細(xì)查看了他寫的這兩行過程。

第一行：“使用帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式在 x=0?處展開至 n?階，其中 ξ?介于?0?和 x?之間，故由余項(xiàng)非零知方程無解，得證?！?/p>

第二行則是余項(xiàng)的公式。

我當(dāng)場舉手示意：“組長，這里有個(gè)用泰勒的，可他是對(duì)的！”

教授過來看了一眼說了兩句話，第一句是“給他滿分”，第二句是“這樣的同學(xué)就是我們想要的?！?/p>

我這里給大家解釋一下：寥寥兩行文字，但全是精煉的術(shù)語，沒有半點(diǎn)廢話。而能夠精確地使用帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，則說明他至少精讀過高等數(shù)學(xué)的教材，而不是囫圇吞棗地翻看過。

戲劇般的劇情，兩行證明，滿分到手。

結(jié)合以上，我的建議就是，我不排斥學(xué)生使用超綱方法解題，但學(xué)生很可能因?yàn)檎莆盏貌粔驈氐?、不夠?qū)I(yè)、甚至因?yàn)槭褂缅e(cuò)誤而有扣分風(fēng)險(xiǎn)。所以我也總是對(duì)學(xué)生們說，除非你真的想不出課內(nèi)的方法，那么就用超綱的方法先把答案做出來。

超綱方法做對(duì)了，好歹是能拿到分的。不超綱方法死活想不到，做不出來可是一分都沒有的。

我在高中階段考過無數(shù)次的多校聯(lián)考數(shù)學(xué)單科第一名，有些大題，尤其壓軸題的數(shù)列或者導(dǎo)數(shù)不等式就是靠微積分解出來的。題目本身就難，得分率低老師改卷就仁慈，哪里還會(huì)摳那么多的細(xì)節(jié)，把答案做對(duì)就直接給你滿分了，而這種時(shí)候我的競爭對(duì)手都沒做出壓軸題。

有同學(xué)表示自己平時(shí)使用非主流方法總被老師判錯(cuò)，對(duì)此我的評(píng)價(jià)則是：水平越低的老師，思想就越是僵化。數(shù)學(xué)這門學(xué)科，只有好的方法、差的方法，沒有一定要使用的標(biāo)準(zhǔn)方法。

考試越是大型，就越應(yīng)該大膽地去使用——放心，閱卷老師的水平高得很，只要你的辦法是對(duì)的，你一定能拿到該拿的分?jǐn)?shù)。

閱卷老師心里清楚，沒有任何理由淘汰一個(gè)優(yōu)秀的同學(xué)。

Q2：評(píng)論區(qū)不少人說，學(xué)習(xí)還是得看天賦，說說我的看法。

你們知道在頂級(jí)學(xué)府里面最讓人絕望的一點(diǎn)是什么嗎，那就是比你聰明的人卻比你更努力。

而現(xiàn)實(shí)生活中從小學(xué)到大學(xué)這樣的例子比比皆是，只是很多人步入社會(huì)以后才意識(shí)到這一點(diǎn)。

說個(gè)老梗吧，科比被問到“你為什么如此成功”時(shí)說：“你們見過凌晨四點(diǎn)的洛杉磯嗎?！?/p>

天賦因人而異，努力總不是因人而異的吧。在一些高中，你甚至能在正月初二就看見里面坐著零星的自愿來學(xué)習(xí)的同學(xué)。如果你問我為什么知道，我會(huì)告訴你因?yàn)槲耶?dāng)年就是其中之一。

誠然，即使不說天賦，不同地方也有著巨大的教育資源差異。就初中教師而言，有的是專業(yè)的教育博士，有的卻自己都沒搞懂教材便給學(xué)生講課?！扒Ю锺R常有，而伯樂不常有?！庇泻锰熨x還不夠，還得有好老師。這些客觀差距就是無法彌補(bǔ)的。

但若是有人大放厥詞，喊勤奮無用——騙別人可以，別騙自己了吧。

Q3：我看評(píng)論區(qū)有人說，有天賦的人看東西一看就懂，沒天賦的人看一百遍也看不懂。

這一點(diǎn)其實(shí)我也想講一個(gè)故事。

我初中的時(shí)候很喜歡玩計(jì)算器，就看到計(jì)算器上有很多亂七八糟的功能，不少我能看懂，但也有一些我看不懂的，尤其是卡西歐計(jì)算器右上角的 ∫記號(hào)。

我就和周圍同學(xué)開始研究啊，這東西到底是什么意思。結(jié)果有次下課一個(gè)同學(xué)很興奮跑來找我說，我明白了， ∫ba?kdx?的意思就是“上面的減去下面的再乘以中間的”。

因輸入法問題，完整數(shù)學(xué)符號(hào)見圖片

我按了幾次發(fā)現(xiàn)是對(duì)的，但疑問也隨之而來：這么簡單的計(jì)算，難道還值得人們發(fā)明一個(gè)專門的記號(hào)來表示嗎？

公式結(jié)果=上面減下面再乘中間的

實(shí)在想不明白，還是決定去問老師了，老師看了一眼說：“這個(gè)是微積分啊，大學(xué)里面學(xué)的?！?/p>

但我沒有就此打住，而是追問老師：“老師，我能學(xué)嗎？”

老師撂下一句“你現(xiàn)在還學(xué)不懂吧”就離開了。

我回家以后不是很服氣，上網(wǎng)查了一通，沒看懂。

碰巧我媽當(dāng)時(shí)覺得我英語不好，在家邊上給我找了個(gè)大學(xué)生家教補(bǔ)習(xí)英語，我記得是個(gè)二本院校的文科女大學(xué)生。當(dāng)時(shí)她應(yīng)該是快期末考試了，給我補(bǔ)習(xí)的空檔還拿著一本微積分的書復(fù)習(xí)。我偷瞄了一眼，這書里全是 ∫?記號(hào)！

我當(dāng)時(shí)就來勁了，我跟她說，你的這本書可以借我看看么？

她說可以啊，便把書遞給我。書名我忘了，大抵是所謂《微積分教程（文科專業(yè)用）》之類的。我翻了翻，便不太情愿地還給她了。

她見我如此有興趣，便隨口說道：“你要是想看，這本可以送你，我回去再買一本就是了，學(xué)校舊書攤里這些書多得是?！?/p>

因此我便得到了我視若珍寶的人生中的第一本微積分的教材，雖然它到我手里的時(shí)候已經(jīng)很舊了。

我特別愛那本書，可是我根本看不懂。

但這本書是我的，一遍看不懂我可以看兩遍，兩遍看不懂我可以看三遍。

老師同學(xué)那時(shí)都對(duì)著我笑，說我要走火入魔了。

我也忘了我到底翻過幾遍那本書，但是我去哪里都要帶著它，即使看不懂也對(duì)著它發(fā)呆。若是真的大致說個(gè)數(shù)的話，至少得有個(gè)幾百遍。本來書就有點(diǎn)破舊，后來書的封皮都被我翻得整個(gè)掉下來了。

我只記得在某個(gè)晚自習(xí)我突然好像如醍醐灌頂，猛地一下頓悟——突然就看懂了。

那一刻我欣喜若狂，趕緊翻回第一頁重新往后看，果然每一頁都能看懂了。

古人有云：書讀百遍，其義自見。

至此，我有關(guān) ∫ 的疑問全部消除。

微積分基本定理——人類歷史上最偉大的公式之一。

幾天后初中課堂的數(shù)學(xué)課，恰好在講動(dòng)點(diǎn)求面積最大值的中考?jí)狠S專題。別的同學(xué)在那悶頭苦算，而我看了一眼就覺得直線和拋物線相切的時(shí)候面積最大……等等，相切……

前不久剛看懂的微積分書里不就教了怎么算切線嗎？！

把微積分應(yīng)用到初中題目一做，完全就是秒殺，連我自己都驚呆了，居然題目還可以這么做。用現(xiàn)在的話來說，這叫“降維打擊”。

再后來我就發(fā)現(xiàn)，原來這本書講得這么簡單。（畢竟是文科專業(yè)用書）

后來上了高中，則是理工科用的微積分教材，甚至數(shù)學(xué)專業(yè)用的數(shù)學(xué)分析了，而看后面這些書帶給我的震撼，遠(yuǎn)沒有那本破書來得巨大。

我想這就是哲學(xué)里面所謂的量變引起質(zhì)變吧。

我不覺得一本高中的教科書真的有人“看一百遍也看不懂”，我覺得看不到一百遍，甚至看不到十遍的可能性更大一些。

行百里者半九十，若是真能做到下定決定看上一百遍，我想大抵還是能看懂的吧。

要是還不行，那就看一百零一遍試試？

萬一真看懂了呢。

書中自有黃金屋，書中自有顏如玉。

讀書人的快樂，也便在這兩句詩之中了。